Chapitre III. Séries de nombres réels
On pose alors R n = e
(x+1) ln(1+
1
n ) − 1 −
x+1
n et on voit que, d’après le résultat
de II.5.7,
R n = (x + 1)
ln
1 +
1
n
−
1
n
+
1
2!
(x + 1)
2
ln
2
1 +
1
n
+
1
3!
(x + 1)
3
ln
3
1 +
1
n
+ . . .
=
1
n 2
−
x + 1
2
+
1
2
(x + 1)
2
+ O
1
n
+
1
3!
(x + 1)
3
ln
3
1 +
1
n
+ . . .
Ceci implique que, pour n suffisamment grand, R n est strictement positif si
x(x + 1) > 0 et strictement négatif si x(x + 1) < 0. Le rapport entre deux
termes consécutifs de
n!n x
x(x+1)···(x+n)
est soit plus grand, soit plus petit que 1
pour tout n suffisamment grand. On montre maintenant que cette suite est
convergente pour x /
∈ Z − . Pour cela, on écrit
n!n x
x(x + 1) · · · (x + n)
=
1
x
n
x + n
n−1
k=1
1 +
1
k
x
1 +
x
k
.
On suppose d’abord que x > 1. Pour un tel x, on a
1 +
1
k
x > 1 +
x
k . Donc,
ln
n−1
k=1
1 +
1
k
x
1 +
x
k
=
n−1
k=1
x ln
1 +
1
k
− ln
1 +
x
k
,
tous les termes de la somme étant strictement positifs. On note de plus que
lim
k→+∞
x ln
1 +
1
k
− ln
1 +
x
k
1
k 2
=
x(x − 1)
2
.
L’existence de la limite
lim
n→+∞
ln
n−1
k=1
1 +
1
k
x
1 +
x
k
se déduit alors de la convergence de la série
+∞
k=1
1
k 2 . La suite considérée est donc
bien convergente pour x > 1.
On suppose maintenant que x ∈ ]0 , 1[. Pour un tel x, on a
1 +
1
k
x < 1+
x
k .
On peut donc appliquer le raisonnement précédent à la suite de termes
− ln
n−1
k=1
1 +
1
k
x
1 +
x
k
.
316