Solutions
+∞
n=1
A n (b n −b n+1 ) est absolument convergente. La convergence de
+∞
n=1
(b n −b n+1 )
implique l’existence de lim
n→+∞
b n , car (b 1 − b 2 ) + (b 2 − b 3 ) + . . . + (b n−1 − b n ) =
b 1 − b n . En conséquence, lim
n→+∞
A n b n existe aussi et, d’après (∗),
+∞
n=1
a n b n
converge.
III.5.13. Pour 0 x < 1, la suite {x n } est décroissante et bornée donc le
test d’Abel s’applique. Pour −1 < x < 0, les deux suites
x 2n
et
x 2n−1
sont monotones et bornées. En conséquence,
+∞
n=1
a 2n x 2n et
+∞
n=1
a 2n−1 x 2n−1 sont
convergentes. La convergence de la série étudiée se déduit de l’égalité
+∞
n=1
a n x
n
=
+∞
n=1
a 2n x
2n
+
+∞
n=1
a 2n−1 x
2n−1 .
III.5.14. On observe que
+∞
n=1
a n
n x =
+∞
n=1
a n
n x 0 ×
1
n x−x 0
si x > x 0 . Il suffit alors d’appliquer le test d’Abel.
III.5.15. On a
+∞
n=1
n!a n
x(x + 1) · · · (x + n)
=
+∞
n=1
a n
n x ·
n!n x
x(x + 1) · · · (x + n)
et on remarque que, pour n suffisamment grand, les réels
n!n x
x(x+1)···(x+n) sont
tous de même signe. On montre qu’ils forment une suite monotone. Pour cela,
on observe que le rapport entre le (n + 1)-ième terme et le n-ième terme est
égal à
(n + 1)
n+1
n
x
x + n + 1
=
e
(x+1) ln(1+
1
n )
1 +
x+1
n
.
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