Chapitre III. Séries de nombres réels
Donc,
|t n |
1
n
|r n | + sup
kn+1
|r k | (n − 1)
+∞
k=n+1
1
k − 1
−
1
k
1
n
|r n | + sup
kn+1
|r k |
n − 1
n
.
Ceci, combiné à lim
n→+∞
r n = 0, donne lim
n→+∞
t n = 0.
III.5.11. Une sommation par parties donne
S n =
n
i=1
a i b
k
i =
n−1
i=1
A i
b
k
i − b
k
i+1
+ A n b
k
n ,
où A n représente la n-ième somme partielle de la série
+∞
n=1
a n . Étant donné
ε > 0, il existe n 0 tel que |b i | < ε pour i n 0 . Donc, si m > n n 0 et
|A n | L, alors
|S m − S n | =
m−1
i=n
A i
b
k
i − b
k
i+1
− A n b
k
n + A m b
k
m
m−1
i=n
|A i |
b
k
i − b
k
i+1
+
A n b
k
n
+
A m b
k
m
L
m−1
i=n
|b i − b i+1 |
b
k−1
i
+ b
k−2
i
b i+1 + . . . + b
k−1
i+1
+
b
k
n
+
b
k
m
L
kε
k−1
m−1
i=n
|b i − b i+1 | + 2ε
k
.
La convergence de
+∞
n=1
a n b n se déduit donc du critère de Cauchy.
III.5.12. Une sommation par parties donne
S n =
n
i=1
a i b i =
n−1
i=1
A i (b i − b i+1 ) + A n b n ,
(∗)
où A n représente la n-ième somme partielle de
+∞
n=1
a n . Puisque la série
+∞
n=1
(b n − b n+1 ) est absolument convergente et la suite {A n } est bornée, la série
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