Solutions
converge vers 0. Donc, pour p n,
p
k=n
a k
b k
=
p
k=n
r k − r k+1
b k
=
p
k=n
r k
b k
−
p
k=n
r k+1
b k
=
r n
b n
+
p
k=n+1
r k
1
b k
−
1
b k−1
−
r p+1
b p
ε n
1
b n
+
1
b n
−
1
b p
+
1
b p
=
2ε n
b n
,
où ε n = sup
kn
|r k |. En conséquence,
+∞
k=n
a k
b k
2ε n
1
b n
= o
1
b n
.
(b) Voir III.4.26.
III.5.10. On note que
+∞
k=0
(k + 1)c n+k =
+∞
k=1
k
n + k − 1
(n + k − 1) c n+k−1 .
Le test d’Abel implique donc la convergence de
+∞
k=0
(k + 1)c n+k pour tout
n ∈ N ∗ . En posant r n = nc n + (n + 1)c n+1 + . . ., on obtient
t n =
+∞
k=0
(k + 1)c n+k =
+∞
k=n
(k − n + 1)c k
=
+∞
k=n
kc k − (n − 1)
+∞
k=n
1
k
kc k
= r n − (n − 1)
+∞
k=n
1
k
(r k − r k+1 )
=
1
n
r n + (n − 1)
+∞
k=n+1
1
k − 1
−
1
k
r k .
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