Chapitre III. Séries de nombres réels
III.5.6. On suppose d’abord que 0 < a < π et on pose m =
√
π
a
. On a
alors, pour n suffisamment grand,
n
k=1
sin(ak)
k
m
k=1
sin(ak)
k
+
n
k=m+1
sin(ak)
k
.
Puisque |sin t| < |t| pour t = 0, on a
m
k=1
sin(ak)
k
<
m
k=1
ak
k
= ma
√
π.
(1)
De plus, on déduit de (2) dans la solution du problème III.5.1 (b) et de
l’inégalité sin t >
2
π t, 0 < t <
π
2 , que
n
k=m+1
sin(ak)
k
1
(m + 1)
sin
a
2
<
1
a
π
√
π
a
=
√
π.
(2)
On voit en combinant (1) et (2) que l’inégalité cherchée est vérifiée pour
a ∈ ]0 , π[. Clairement, puisque la fonction sinus est impaire, l’inégalité est
aussi vérifiée pour a ∈ ]−π , 0[. De plus, puisque sin kπ = 0 et que la fonction
sinus est périodique, l’inégalité est vérifiée pour tout a ∈ R.
III.5.7. La convergence de la série se déduit du test d’Abel car la série
+∞
n=1
(−1)
n 1
√
n
est convergente et la suite {Arctan n} est croissante et majorée.
III.5.8. La série converge d’après le test d’Abel. En effet,
+∞
n=1
(−1)
n 1
n
converge et la suite
n
√
ln x
est bornée, strictement croissante si x > e et
strictement décroissante si 1 < x < e.
III.5.9.
(a) On observe d’abord que la série
+∞
n=1
an
bn converge d’après le test d’Abel.
De plus, si la série
+∞
n=1
a n est convergente, la suite {r n }, r n =
+∞
k=n
a k ,
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