Solutions
III.5.2. On a
N
n=2
sin
n +
1
n
ln ln n
=
N
n=2
sin n cos
1
n
ln ln n
+
N
n=2
cos n sin
1
n
ln ln n
.
Avec la formule (2) donnée dans la solution du problème III.5.1 (b) et le test
de Dirichlet, on voit que la série
+∞
n=2
sin n
ln ln n converge. Puisque la suite
cos
1
n
est monotone et bornée, la série
+∞
n=2
sin n cos
1
n
ln ln n
converge d’après le test d’Abel.
Finalement, la convergence de
+∞
n=2
cos n sin
1
n
ln ln n
se déduit de la formule (1) donnée
dans la solution du problème III.5.1 (a) et du test de Dirichlet.
III.5.3.
(a) On a
2
n
k=1
sin(k
2 a) sin(ka)
=
n
k=1
[cos(k(k − 1)a) − cos(k(k + 1)a)]
= |1 − cos(n(n + 1)a)| 2.
La convergence de la série se déduit donc du test de Dirichlet.
(b) Comme en (a), on peut appliquer le test de Dirichlet.
III.5.4. En utilisant la formule
cos n sin(na)
n
=
1
2
sin(n(a + 1))
n
+
1
2
sin(n(a − 1))
n
,
la convergence de la série étudiée se déduit directement du test de Dirichlet
(utilisez la formule (2) donnée dans la solution de III.5.1 (b)).
III.5.5. Si a = kπ, k ∈ Z, tous les termes de la série sont alors nuls. Si
a = kπ, on obtient alors, avec l’inégalité |sinx| sin
2 x =
1
2 (1 − cos 2x),
N
n=1
|sin(na)|
n
1
2
N
n=1
1
n
−
1
2
N
n=1
cos(2na)
n
.
La série n’est donc pas absolument convergente dans ce cas.
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