Chapitre III. Séries de nombres réels
on obtient
n
k=1
sin k
=
sin
n
2 sin
n+1
2
sin
1
2
1
sin
1
2
.
Donc, d’après le test de Dirichlet, la série converge.
(c) On observe que
cos
π
n 2
n + 1
= cos
nπ −
nπ
n + 1
= (−1)
n
cos
π −
π
n + 1
= (−1)
n+1
cos
π
n + 1
.
La série étudiée peut donc s’écrire sous la forme
+∞
n=2
(−1)
n+1 cos
π
n+1
ln
2 n
.
La convergence de cette série se déduit du test d’Abel (voir, par exemple,
la note de bas de page de l’exercice III.5.1 ou [12], p. 106), car la série
+∞
n=2
(−1)
n+1 1
ln
2 n
converge (par la règle de Leibniz) et
cos
π
1+n
est une
suite monotone et bornée.
(d) On a
sin
nπ
4
n a + sin
nπ
4
=
sin
nπ
4
n a
1 −
sin
nπ
4
n a
1 +
sin
nπ
4
n a
.
La série
+∞
n=1
sin
nπ
4
n a , a > 0,
converge (d’après le test de Dirichlet). On étudie maintenant la série (à
termes positifs)
+∞
n=1
sin
nπ
4
n a
1 +
sin
nπ
4
n a
.
Il existe des constantes strictement positives c a et C a telles que
c a
1
n 2a <
sin
nπ
4
n a
1 +
sin
nπ
4
n a
< C a
1
n 2a , n = 4k, k ∈ N
∗ .
La série converge donc si a >
1
2 et diverge si 0 < a
1
2 .
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