Solutions
III.5. Les tests de Dirichlet et Abel
III.5.1.
(a) Puisque
sin 2 n
n
=
1
2n (1 − cos(2n)), il suffit de considérer les séries
+∞
n=1
(−1)
n 1
n
et
+∞
n=1
(−1)
n 1
n
cos(2n).
La première série converge d’après la règle de Leibniz. La convergence
de la seconde se déduit du test de Dirichlet (voir, par exemple, la note
de bas de page de l’exercice III.5.1 ou [12], p. 105). En effet, avec la
formule (que l’on peut démontrer par récurrence)
n
k=1
cos ka =
sin
na
2 cos
(n+1)a
2
sin
a
2
pour a = 2lπ, l ∈ Z,
(1)
on obtient
n
k=1
(−1)
k
cos(2k)
=
n
k=1
cos((π − 2)k)
=
sin
(π−2)n
2
cos
(n+1)(π−2)
2
cos 1
1
cos 1
.
La suite des sommes partielles de
+∞
n=1
(−1)
n
cos(2n) est bornée. De plus,
{
1
n } est monotone et converge vers 0. La série
+∞
n=1
(−1)
n 1
n cos(2n) est
donc convergente.
(b) La suite
a n =
1 +
1
2 + . . . +
1
n
n
des moyennes arithmétiques de {
1
n } converge vers 0 (voir II.3.2). On
vérifie facilement que la suite {a n } est décroissante. Avec la formule (que
l’on peut démontrer par récurrence)
n
k=1
sin ka =
sin
na
2 sin
(n+1)a
2
sin
a
2
pour a = 2lπ, l ∈ Z,
( 2 )
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