Chapitre III. Séries de nombres réels
III.4.35. La démonstration est semblable à celle de III.4.33. On pose
E n = p 1 b 1 + . . . + p n b n et on suppose que lim
n→+∞
p 1 b 1 +...+pnbn
n
= 2α > 0.
Pour n > n 0 , on a alors p 1 b 1 + . . . + p n b n > αn et, en conséquence,
b 1 + . . . + b n =
1
p 1
(p 1 b 1 ) + . . . +
1
p n
(p n b n )
=
n−1
k=1
E k
1
p k
−
1
p k+1
+ E n
1
p n
> constante + α
n
k=n 0 +2
1
p k
,
contradiction.
III.4.36. On observe d’abord que la série converge si p = q. On a
S lp =
1 +
1
2
+ . . . +
1
p
−
1
p + 1
+ . . . +
1
2p
+ . . . + (−1)
l+1
1
(l − 1)p + 1
+ . . . +
1
lp
et S lp est donc la somme partielle d’une série alternée. D’après la règle de
Leibniz, lim
l→+∞
S lp existe. Clairement, chaque somme partielle de la forme S lp+k
(k = 1, 2, . . . , p − 1) tend vers la même limite lorsque l tend vers +∞.
Supposons maintenant que la série converge. D’après III.4.34, on a alors
lim
n→+∞
np − nq
np + nq
=
p − q
p + q
= 0,
ce qui implique p = q.
III.4.37. On remarque d’abord que si les conditions (i)-(iii) sont vérifiées,
alors la suite transformée {b n } est bien définie pour toute suite convergente
{a n }. La démonstration se conduit alors de la même façon que dans les solutions des problèmes II.3.1 et II.3.26.
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