Solutions
III.4.33. [20]. On suppose, contrairement à la proposition, que
lim
n→+∞
ε 1 +ε 2 +...+εn
n
= 2α > 0. D’après II.4.13 (b), il existe alors n 0 tel
que pour n > n 0 ,
ε 1 + ε 2 + . . . + ε n > αn.
(∗)
On pose E n = ε 1 + ε 2 + . . . + ε n . En utilisant une sommation par parties, on
obtient
ε 1 a 1 + ε 2 a 2 + . . . + ε n a n =
n−1
k=1
E k (a k − a k+1 ) + E n a n .
Donc, d’après (∗),
ε 1 a 1 + ε 2 a 2 + . . . + ε n a n >
n 0
k=1
E k (a k − a k+1 ) + α
n−1
k=n 0 +1
k(a k − a k+1 ) + αna n
= constante + α
n
k=n 0 +2
a k ,
contradiction.
III.4.34. [20]. On pose E n = ε 1 + ε 2 + . . . + ε n pour n ∈ N ∗ . La suite {E n }
a la propriété qu’entre deux termes de signes opposés se trouve un terme nul.
On considère deux cas :
(1) un nombre fini de termes de {E n } s’annulent,
(2) une infinité de termes de {E n } s’annulent.
Le cas (1) est un cas particulier de III.2.35. Dans le cas (2), d’après le critère
de Cauchy, pour tout ε > 0, il existe n 0 tel que
ε >
n
k=m+1
ε k a k
=
n
k=m+1
((E k − E m ) − (E k−1 − E m ))a k
=
n
k=m+1
(E k − E m )(a k − a k+1 ) + (E n − E m )a n+1
(∗)
si n > m > n 0 . On suppose que E m = 0 et que les termes E m+1 , E m+2 , . . . , E n
sont de même signe. Alors (∗) et la monotonie de la suite {a n } impliquent
|E n a n | < ε, n m + 1.
307