Chapitre III. Séries de nombres réels
III.4.30. [20]. Non, comme le montre l’exemple suivant. On considère une
série semi-convergente
+∞
n=1
b n et on pose
a 1 = b 1 , a 2 = a 3 =
b 2
2!
, a 4 = a 5 = . . . = a 9 =
b 3
3!
, . . .
a 1!+2!+...+(n−1)!+1 = a 1!+2!+...+(n−1)!+2 = . . . = a 1!+2!+...+(n−1)!+n! =
b n
n!
, . . .
La série
+∞
n=1
a n est semi-convergente. Mais pour tout k 1 et tout l 2, la
sous-série
a k + a k+l + a k+2l + . . .
converge. En effet, pour n l, il y a
n!
l termes de la forme
bn
n! . En regroupant
ces termes, on obtient la série convergente
constante +
1
l
+∞
n=n 0
b n .
III.4.31. Considérez la série
1 +
1
2
3
√ 2
+
1
2
3
√ 2
−
1
3
√ 2
+ . . . +
1
n
3
√ n
+ . . . +
1
n
3
√
n
n termes
−
1
3
√
n
+ . . .
III.4.32. Oui. Considérez la série
1 +
1
2 ln 2
+
1
2 ln 2
−
1
ln 2
+ . . . +
1
n ln n
+ . . . +
1
n ln n
n termes
−
1
ln n
+ . . .
On a alors
N 2 +3N−2
2
n=1
a
k
n =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
1 +
N
n=2
1
n k−1 ln
k n
+
1
ln
k n
si k est pair,
1 +
N
n=2
1
n k−1 ln
k n
−
1
ln
k n
si k est impair.
D’après le théorème de Cauchy (voir III.2.28), la série
+∞
n=2
1
ln
k n
diverge pour
tout k ∈ N ∗ . Par ailleurs, la série
+∞
n=2
1
n k−1 ln
k n
converge si k 2.
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