Solutions
De plus, il existe β tel que |β n | β. Donc,
a n
a 1
1 +
β
1 1+ε
1 +
β
2 1+ε
· · ·
1 +
β
(n−1) 1+ε
a 1
e βA
où A =
+∞
n=1
1
n 1+ε .
III.4.25. D’après II.5.34, l’existence de la limite lim
n→+∞
n ln
an
a n+1
est équivalente à l’existence de lim
n→+∞
n
an
a n+1
− 1
et les deux limites sont égales. On
pose a n =
n!e n
n n+p . On a alors lim
n→+∞
n ln
an
a n+1
= p −
1
2 . Donc, d’après III.4.23, la
série converge si p >
1
2 et diverge si p <
1
2 . Dans le cas où p =
1
2 , la condition
nécessaire de convergence n’est pas vérifiée car, d’après la formule de Stirling,
lim
n→+∞
a n =
√ 2π.
III.4.26. On pose S n = a 1 + a 2 + . . . + a n , on utilise la sommation dite par
parties (transformation d’Abel ) pour avoir
a 1 p 1 + a 2 p 2 + . . . + a n p n =
n−1
k=1
S k (p k − p k+1 ) + S n p n
et on obtient
a 1 p 1 + a 2 p 2 + . . . + a n p n
p n
= S n −
n−1
k=1
S k
p k − p k+1
p n
.
Il suffit maintenant d’appliquer le théorème de Toeplitz (voir II.3.1).
III.4.27. On applique le résultat du problème précédent à la série
+∞
n=1
a n b n
en prenant p n =
1
an .
III.4.28. Le résultat est un cas particulier du problème précédent.
III.4.29. Si la série n’était pas absolument convergente, la sous-série des
termes positifs et la sous-série des termes négatifs seraient divergentes
(voir III.4.5).
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De plus, il existe β tel que |β n | β. Donc,
a n
a 1
1 +
β
1 1+ε
1 +
β
2 1+ε
· · ·
1 +
β
(n−1) 1+ε
a 1
e βA
où A =
+∞
n=1
1
n 1+ε .
III.4.25. D’après II.5.34, l’existence de la limite lim
n→+∞
n ln
an
a n+1
est équivalente à l’existence de lim
n→+∞
n
an
a n+1
− 1
et les deux limites sont égales. On
pose a n =
n!e n
n n+p . On a alors lim
n→+∞
n ln
an
a n+1
= p −
1
2 . Donc, d’après III.4.23, la
série converge si p >
1
2 et diverge si p <
1
2 . Dans le cas où p =
1
2 , la condition
nécessaire de convergence n’est pas vérifiée car, d’après la formule de Stirling,
lim
n→+∞
a n =
√ 2π.
III.4.26. On pose S n = a 1 + a 2 + . . . + a n , on utilise la sommation dite par
parties (transformation d’Abel ) pour avoir
a 1 p 1 + a 2 p 2 + . . . + a n p n =
n−1
k=1
S k (p k − p k+1 ) + S n p n
et on obtient
a 1 p 1 + a 2 p 2 + . . . + a n p n
p n
= S n −
n−1
k=1
S k
p k − p k+1
p n
.
Il suffit maintenant d’appliquer le théorème de Toeplitz (voir II.3.1).
III.4.27. On applique le résultat du problème précédent à la série
+∞
n=1
a n b n
en prenant p n =
1
an .
III.4.28. Le résultat est un cas particulier du problème précédent.
III.4.29. Si la série n’était pas absolument convergente, la sous-série des
termes positifs et la sous-série des termes négatifs seraient divergentes
(voir III.4.5).
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