Chapitre III. Séries de nombres réels
donne alors |sin p n | =
cos(
π
2 q n − p n )
> cos
1
qn > 1 −
1
2q 2
n
. Donc, comme
en (a), la suite {(sin p n )
pn
} ne converge pas vers 0 et la série diverge.
III.4.23.
(a) Par hypothèse (voir aussi II.4.13 (b)), il existe n 0 et α tel que
n
a n
a n+1
− 1
> α > 0 pour n n 0 .
Donc,
a n+1
an <
n
n+α < 1, ce qui signifie que, à partir d’une certaine valeur
n 0 de l’indice n, la suite {a n } décroît. On montre que lim
n→+∞
a n = 0. Il
découle de ce qui précède que
a n+1 =
a n+1
a n
·
a n
a n−1
· · ·
a n 0 +1
a n 0
· a n 0 <
n(n − 1) · · · n 0
(α + n) · · · (α + n 0 )
a n 0 .
Il suffit maintenant de prouver que lim
n→+∞
n(n−1)···n 0
(α+n)···(α+n 0 ) = 0. On a
lim
n→+∞
n(n − 1) · · · n 0
(α + n) · · · (α + n 0 )
= lim
n→+∞
1
1 +
α
n
· · ·
1 +
α
n 0
= 0,
car (voir I.2.1)
1 +
α
n 0
· · ·
1 +
α
n
> 1 +
α
n 0
+ . . . +
α
n
− −−−− →
n→+∞
+∞.
Donc, d’après la règle de Leibniz, la série
+∞
n=1
(−1)
n a n converge.
(b) L’hypothèse n
an
a n+1
− 1
0 implique que la suite {a n } croît et, en
conséquence, que la série
+∞
n=1
(−1)
n a n diverge car la condition nécessaire
pour la convergence n’est pas vérifiée.
III.4.24. Par hypothèse, lim
n→+∞
n
an
a n+1
− 1
= α. Pour α = 0, on peut
appliquer le test prouvé au problème précédent. Pour α = 0, la condition
nécessaire de convergence n’est pas vérifiée. En effet, on a
1
a n
=
1
a 1
·
a 1
a 2
·
a 2
a 3
· · ·
a n−1
a n
=
1
a 1
1 +
β 1
1 1+ε
1 +
β 2
2 1+ε
· · ·
1 +
β n−1
(n − 1) 1+ε
.
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