Solutions
III.4.21. D’après II.5.4 (a), on a
lim
n→+∞
n
√
a −
n
√
b+
n
√
c
2
1
n
= lim
n→+∞
n
√ a − 1
1
n
−
n
√
b − 1 +
n
√ c − 1
2
1
n
= ln a −
1
2
(ln b + ln c) = ln
a
√
bc
.
Donc, si a >
√
bc, tous les termes sont alors strictement positifs à partir d’une
certaine valeur de l’indice n et, d’après le test de comparaison, la série diverge.
Si a <
√
bc, les termes de la série sont strictement négatifs et elle diverge aussi.
Pour a =
√
bc, on a
+∞
n=1
n
√
a −
n
√
b +
n
√
c
2
= −
1
2
+∞
n=1
2n √
b −
2n √
c
2
.
Puisque
lim
n→+∞
2n √
b − 1 −
2n √
c + 1
1
2n
2
= (ln b − ln c)
2 ,
la convergence de la série considérée se déduit donc de celle de
+∞
n=1
1
n 2 .
III.4.22.
(a) D’après I.1.14, il existe une suite d’entiers {p n } et une suite d’entiers
naturels non nuls {q n } telles que
π −
p n
q n
<
1
q 2
n
.
Donc, |cos p n | = |cos(πq n − p n )| > cos
1
qn = 1 − 2 sin
2 1
2qn > 1 −
1
2q 2
n
et
|cos p n |
pn >
1 −
1
2q 2
n
pn
> 1 −
p n
q n
1
2q n
.
Ceci signifie que la sous-suite {(cos p n )
pn
} de {cos n n} ne converge pas
vers 0. La condition nécessaire de convergence n’est donc pas vérifiée.
(b) D’après I.1.22, on sait que les suites {p n } et {q n } mentionnées en (a)
peuvent être choisies de sorte que tous les termes de {q n } soient impairs.
L’inégalité
π
2
−
p n
q n
<
1
q 2
n
303
III.4.21. D’après II.5.4 (a), on a
lim
n→+∞
n
√
a −
n
√
b+
n
√
c
2
1
n
= lim
n→+∞
n
√ a − 1
1
n
−
n
√
b − 1 +
n
√ c − 1
2
1
n
= ln a −
1
2
(ln b + ln c) = ln
a
√
bc
.
Donc, si a >
√
bc, tous les termes sont alors strictement positifs à partir d’une
certaine valeur de l’indice n et, d’après le test de comparaison, la série diverge.
Si a <
√
bc, les termes de la série sont strictement négatifs et elle diverge aussi.
Pour a =
√
bc, on a
+∞
n=1
n
√
a −
n
√
b +
n
√
c
2
= −
1
2
+∞
n=1
2n √
b −
2n √
c
2
.
Puisque
lim
n→+∞
2n √
b − 1 −
2n √
c + 1
1
2n
2
= (ln b − ln c)
2 ,
la convergence de la série considérée se déduit donc de celle de
+∞
n=1
1
n 2 .
III.4.22.
(a) D’après I.1.14, il existe une suite d’entiers {p n } et une suite d’entiers
naturels non nuls {q n } telles que
π −
p n
q n
<
1
q 2
n
.
Donc, |cos p n | = |cos(πq n − p n )| > cos
1
qn = 1 − 2 sin
2 1
2qn > 1 −
1
2q 2
n
et
|cos p n |
pn >
1 −
1
2q 2
n
pn
> 1 −
p n
q n
1
2q n
.
Ceci signifie que la sous-suite {(cos p n )
pn
} de {cos n n} ne converge pas
vers 0. La condition nécessaire de convergence n’est donc pas vérifiée.
(b) D’après I.1.22, on sait que les suites {p n } et {q n } mentionnées en (a)
peuvent être choisies de sorte que tous les termes de {q n } soient impairs.
L’inégalité
π
2
−
p n
q n
<
1
q 2
n
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