Chapitre III. Séries de nombres réels
III.4.18. Soit S n et
S n les sommes partielles respectives des séries
+∞
n=1
a n et
+∞
n=1
n(a n − a n+1 ). On a
S n =
n
k=1
k(a k − a k+1 ) =
n
k=1
ka k −
n
k=1
(k + 1)a k+1 −
n
k=1
a k+1
= −(n + 1)a n+1 + S n+1 ,
ce qui démontre la proposition.
III.4.19. La convergence se déduit de la règle de Leibniz.
III.4.20. Si |a| < 1, la série est alors absolument convergente. En effet,
puisque |sin x| |x|, on a
n! sin a sin
a
2
· · · sin
a
n
|a|
n .
On passe maintenant au cas où |a| 1. On prouve que, dans ce cas,
la série diverge car la condition nécessaire de convergence n’est pas vérifiée. En fait, pour a fixé, il existe n 0 tel que
|a|
n 0
1. Donc, en posant
C = (n 0 − 1)!
n! sin a sin
a
2 · · · sin
a
n 0 −1
et en utilisant l’inégalité
sin x
x > 1 −
x 2
6
pour x > 0, on obtient
n! sin a sin
a
2
· · · sin
a
n
= Cn 0 · · · n sin
|a|
n 0
· · · sin
|a|
n
Cn 0 · · · n sin
1
n 0
· · · sin
1
n
C
n
k=n 0
1 −
1
6k 2
C
n
k=n 0
1 −
1
k 2
= C
(n 0 − 1)(n + 1)
n 0 n
− −−−− →
n→+∞
C
n 0 − 1
n 0
> 0.
302