Solutions
(b) On note que
(ln n)
ln n
n b
=
e (ln n)(ln ln n)
n b
=
n ln ln n
n b .
La condition nécessaire de convergence n’est donc pas vérifiée.
III.4.14. On a, avec la monotonie de {a n },
r 2n = (a 2n+1 − a 2n+2 ) + (a 2n+3 − a 2n+4 ) + . . . > 0,
r 2n+1 = (−a 2n+2 + a 2n+3 ) + (−a 2n+4 + a 2n+5 ) + . . . < 0
et
r 2n = a 2n+1 + (−a 2n+2 + a 2n+3 ) + . . . < a 2n+1 ,
−r 2n+1 = a 2n+2 + (−a 2n+3 + a 2n+4 ) + . . . < a 2n+2 .
III.4.15. On remarque que
n
k=1
(a k + a k+1 ) − 2
n
k=1
a k = a n+1 − a 1 − −−−− →
n→+∞
−a 1 .
III.4.16. On observe que
n
k=1
(aa k + ba k+1 + ca k+2 ) − (a + b + c)
n
k=1
a k
= b(a n+1 − a 1 ) + c(a n+1 + a n+2 − a 1 − a 2 ) − −−−− →
n→+∞
−ba 1 − c(a 1 + a 2 ).
III.4.17. Par hypothèse, il existe des constantes strictement positives c et C
telles que, pour n suffisamment grand, c |a n | C. D’où,
1
a n+1
−
1
a n
1
c 2 |a n+1 − a n | ,
|a n+1 − a n | C
2
1
a n+1
−
1
a n
.
La proposition se déduit donc du test de comparaison.
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