Chapitre III. Séries de nombres réels
(c) Clairement, la suite {
n
√
n}, n 3, est décroissante et la série converge
donc. Mais elle n’est pas absolument convergente (voir III.2.5 (b)).
(d) La convergence se déduit de la monotonie de
1 +
1
n
n
et du fait que
la limite de cette suite est e (voir II.1.38). Pour montrer que la série
n’est pas absolument convergente, on utilise l’inégalité
ln(1 + x) < x −
1
2
x
2
+
1
3
x
3 , x > 0,
en prenant x =
1
n pour obtenir
1 +
1
n
n < e
1−
1
2n
+
1
3n 2 . Donc,
e −
1 +
1
n
n
> e
1 − e
1−
1
2n
+
1
3n 2
> e
1 − e
−
1
4n
pour n > 1.
Il s’ensuit, d’après II.5.4 (a), que
4n
1 − e
−
1
4n
>
1
2
pour n suffisamment grand. La série
+∞
n=1
e −
1 +
1
n
n
est donc divergente.
(e) La convergence de cette série se déduit de la monotonie de la suite
1 +
1
n
n+1
et du fait que e est sa limite (voir II.1.38). Selon
III.2.5 (c), la série n’est pas absolument convergente.
III.4.13.
(a) La fonction
f (x) =
(ln x)
a
x b , x ∈
e
a
b , +∞
,
est décroissante et tend vers 0 lorsque x → +∞. La série converge donc
d’après la règle de Leibniz. On prouve que la série est absolument convergente si b > 1. D’après le théorème de Cauchy (voir III.2.28), il suffit
de prouver la convergence de
+∞
n=1
2
n n a
2 nb .
D’après le test de la racine, cette série converge si b > 1 et diverge si
0 < b < 1. Clairement, si b = 1, la série est divergente.
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