Solutions
(b) Comme en (a), on peut écrire la série sous la forme
+∞
n=0
(−1)
n A n où A n =
2 n+1 −1
k=2 n
1
k ln k
.
De plus,
0 < A n < 2
n
1
2 n ln 2 n .
Ceci implique lim
n→+∞
A n = 0. On montre alors que {A n } est décroissante.
En effet,
A n+1 =
2 n+2 −1
k=2 n+1
1
k ln k
=
2 n+1 −1
l=0
1
(2 n+1 + l) ln(2 n+1 + l)
=
2 n −1
l=0
1
(2 n+1 +2l) ln(2 n+1 +2l)
+
1
(2 n+1 +2l+1) ln(2 n+1 +2l+1)
<
2 n −1
l=0
2
(2 n+1 + 2l) ln(2 n+1 + 2l)
<
2 n −1
l=0
1
(2 n + l) ln(2 n + l)
= A n .
III.4.11. On a
(−1)
n
√ n
(−1)
n
+
√
n
sin
1
√
n
= (−1)
n
1 −
(−1)
n
(−1)
n
+
√
n
sin
1
√
n
= (−1)
n
sin
1
√ n
+
(−1)
n
n − 1
sin
1
√ n
−
√ n
n − 1
sin
1
√ n
.
D’après la règle de Leibniz, les séries
+∞
n=2
(−1)
n
sin
1
√
n
et
+∞
n=2
(−1)
n
n − 1
sin
1
√
n
convergent. En revanche, la série
+∞
n=2
√
n
n − 1
sin
1
√ n
diverge et la série étudiée diverge donc aussi.
III.4.12.
(a) La série converge absolument (voir III.2.1 (f )).
(b) La convergence de la série se déduit de la règle de Leibniz. En revanche,
elle n’est pas absolument convergente (voir III.2.1 (g)).
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