Chapitre III. Séries de nombres réels
sur l’intervalle [0 , 2n]. Donc, pour n suffisamment grand, on a
A n − A n+1 > (2n + 1)
⎛
⎝
1
(n 2 + 2n)
a −
1
(n + 1)
2
+ 2n
a
⎞
⎠ −
2
(n + 1)
2a
=
2
n 2a
n +
1
2
1 +
2
n
−a
−
1 +
4
n
+
1
n 2
−a
−
1 +
1
n
−2a
n
−2a
(2a − 1) > 0,
car (1 + x)
−a > 1−ax et (1 + x)
−a < 1−ax+
a(a+1)
2
x 2 pour a, x > 0 (ces deux
inégalités peuvent se prouver en dérivant). Donc, d’après la règle de Leibniz,
la série
+∞
n=1
(−1)
n A n converge si
1
2 < a 1.
Si 0 < a
1
2 , puisque A n > (2n + 1)
1
(n 2 +2n)
a , la condition nécessaire à la
convergence de
+∞
n=1
(−1)
n A n n’est alors pas vérifiée.
III.4.9. Comme dans la solution des problèmes III.4.7 et III.4.8, on regroupe les termes de même signe et on réécrit la série sous la forme suivante :
+∞
n=1
(−1)
n−1
1
[e n−1 ] + 1
+ . . . +
1
[e n ]
.
On remarque aussi que
1
[e n−1 ] + 1
+ . . . +
1
[e n ]
>
[e n ] −
e n−1
[e n ]
= 1 −
e n−1
[e n ]
.
De plus, puisque
lim
n→+∞
1 −
e n−1
[e n ]
= 1 −
1
e
,
la condition nécessaire à la convergence de la série n’est pas vérifiée et la série
diverge donc.
III.4.10.
(a) On remarque que l’on peut écrire la série sous la forme
+∞
n=0
(−1)
n A n où A n =
2 n+1 −1
k=2 n
1
k
.
Puisque A n > 2 n 1
2 n+1 −1
− −−−− →
n→+∞
1
2 , la série diverge.
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