Solutions
+∞
n=1
(−1)
n A n où A n =
(n+1)
2 −1
k=n 2
1
k a . De plus, pour a = 1, on a
A n <
1
n 2a +
(n+1)
2
n 2
1
t a dt =
1
n 2a +
1
1 − a
(n + 1)
2−2a
− n
2−2a
.
Donc (voir II.2.3), lim
n→+∞
A n = 0 si
1
2 < a < 1. Pour a = 1, on a
2
n+1 < A n <
2n+1
n 2 et, en conséquence, lim
n→+∞
A n = 0 pour
1
2 < a 1. On
montre maintenant que pour un tel a, la suite {A n } est décroissante. En effet,
A n − A n+1 =
(n+1)
2 −1
k=n 2
1
k a −
(n+2)
2 −1
k=(n+1)
2
1
k a
=
(n+1)
2 −1
k=n 2
1
k a −
(n+1)
2 +1
k =n 2
1
(k + 2n + 1)
a
=
(n+1)
2 −1
k=n 2
1
k a −
1
(k + 2n + 1)
a
−
1
(n + 2)
2
− 2
a
−
1
(n + 2)
2
− 1
a
=
2n
k=0
⎛
⎝
1
(n 2 + k)
a −
1
(n + 1)
2
+ k
a
⎞
⎠ −
1
(n + 2)
2
− 2
a
−
1
(n + 2)
2
− 1
a
> (2n + 1)
⎛
⎝
1
(n 2 + 2n)
a −
1
(n + 1)
2
+ 2n
a
⎞
⎠
−
1
(n + 2)
2
− 2
a −
1
(n + 2)
2
− 1
a ,
la dernière inégalité se déduisant de la monotonie de la fonction
g(x) =
1
(n 2 + x)
a −
1
(n + 1)
2
+ x
a
297