Chapitre III. Séries de nombres réels
III.4.3. On suppose d’abord que a n > 0 pour tout n ∈ N ∗ . On peut montrer
en dérivant que sin x > x −
x 3
6 pour x > 0. Donc, 1 −
sin an
an <
1
6 a 2
n . Puisque
a 2
n < a n pour n suffisamment grand, la série
+∞
n=1
a 2
n est convergente, ce qui implique la convergence de la série donnée. Si on abandonne l’hypothèse a n > 0,
la série peut converger ou diverger. En effet, en prenant a n = (−1)
n 1
n α avec
α > 0, la série
+∞
n=1
1 −
sin an
an
diverge si 0 < α
1
2 et converge si α >
1
2 .
III.4.4. Non, comme le montre l’exemple suivant :
a n =
(−1)
n
n
+
1
n ln n
, b n =
(−1)
n
n
, n 2.
III.4.5. On a a n = p n − q n et |a n | = p n + q n . On note aussi que p n et q n sont
positifs. Les deux séries
+∞
n=1
p n et
+∞
n=1
q n divergent donc car
+∞
n=1
a n converge et
+∞
n=1
|a n | diverge.
III.4.6. On pose S n = a 1 + . . . + a n . D’après le problème précédent, on a
lim
n→∞
P n
Q n
= lim
n→∞
1 +
S n
Q n
= 1.
III.4.7. La série n’est pas absolument convergente. On montre qu’elle est
simplement convergente. Pour ce faire, on regroupe les termes de même signe
et on obtient
+∞
n=1
(−1) [
n
3 ]
n
=
3
2
+
+∞
n=1
(−1)
n
1
3n
+
1
3n + 1
+
1
3n + 2
.
La convergence se déduit de la règle de Leibniz.
III.4.8. Clairement, la série est absolument convergente si a > 1 et divergente si a 0. On montre que la série converge simplement si
1
2 < a 1. On
remarque que les trois premiers termes sont négatifs, les cinq suivants positifs, etc. En regroupant les termes de même signe, on obtient la série alternée
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