Solutions
En appliquant de nouveau la règle de Leibniz, on voit que la série
converge pour tout a ∈ R. La série n’est pas absolument convergente
si a = 0 car
lim
n→+∞
sin
|a|
n
1
n
= |a| .
(d) La série converge si et seulement si −1
a 2 −4a−8
a 2 +6a−16
< 1, c’est-à-dire, si
a ∈
−4 ,
4
5
∪ [3 , +∞[. Clairement, la série est absolument convergente
si a ∈
−4 ,
4
5
∪ ]3 , +∞[.
(e) Puisque
lim
n→+∞
n
n n
a n 2
= 0 si |a| > 1,
la série est absolument convergente si |a| > 1. Si |a| 1, la condition
nécessaire à la convergence n’est alors pas vérifiée car lim
n→+∞
n n
|a|
n 2 = +∞.
(f) On observe que
lim
n→+∞
(ln n)
ln n
n a
= lim
n→+∞
n
ln ln n−a
= +∞.
La condition nécessaire de convergence n’est donc pas vérifiée.
III.4.2. Si |a| < 1, on a alors, pour n suffisamment grand,
a n−1
na n−1 + ln n
< |a|
n−1
et la série est donc absolument convergente. Si |a| 1, alors
a n−1
na n−1 + ln n
=
1
n
1
1 +
ln n
na n−1
.
Donc, pour n suffisamment grand, les termes de la série sont strictement positifs et, d’après le test de comparaison, sa divergence découle de celle de la
série
+∞
n=1
1
n .
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