Chapitre III. Séries de nombres réels
Notre série diverge alors d’après le test intégral car, pour n > ˆ
e k ,
I n =
n
e
f (x) dx
ˆ
e k
e
f (x) dx
=
ˆ
e 2
e
1
x ln x
dx +
ˆ
e 3
ˆ
e 2
1
x(ln x)(ln 2 x)
dx
+ . . . +
ˆ
e k
ˆ
e k−1
1
x(ln x)(ln 2 x) · · · (ln k−1 x)
dx = k − 1.
III.4. Convergence absolue. Théorème de Leibniz
III.4.1.
(a) On a
lim
n→+∞
n
an
n + 1
n
= |a| .
La série est donc absolument convergente si |a| < 1 et divergente si
|a| > 1. Si |a| = 1, la série diverge car
lim
n→+∞
an
n + 1
n
= lim
n→+∞
1
1 +
1
n
n =
1
e
.
(b) On pose f (x) =
(ln x)
a
x
pour x > 0. On a alors f (x) =
(ln x)
a−1 (a−ln x)
x 2
< 0
pour x > max {1, e a }. Donc, d’après la règle de Leibniz, la série converge
pour tout a ∈ R. On détermine maintenant si la série est absolument
convergente, c’est-à-dire si la série
+∞
n=1
(ln n)
a
n
converge. D’après le théorème de Cauchy (voir III.2.28), la convergence de cette série est équivalente à celle de
+∞
n=1
n a (ln 2)
a . Notre série est donc absolument convergente si a < −1.
(c) Si a > 0, la série est convergente d’après la règle de Leibniz. Si a < 0, on
a alors
+∞
n=1
(−1)
n
sin
a
n
=
+∞
n=1
(−1)
n+1
sin
|a|
n
.
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