Solutions
III.3.11.
(a) On pose
g(x) =
+∞
x
f (t) dt
f (x)
.
On a alors −g(x)
f (x)
f (x) − g (x) = 1 > 0.
(b) On pose
g(x) =
x
1/2 f (t) dt
f (x)
.
On a alors
n
1
1
g(x) dx = ln
n
1/2 f (t) dt − ln
1
1/2 f (t) dt, ce qui implique
que la suite
n
1
1
g(x) dx n’est pas bornée. De plus,
−g(x)
f (x)
f (x)
− g
(x) = −1 < 0.
III.3.12. On applique le test prouvé en III.3.9. On obtient, en prenant
f (x) = (ln x)
−(ln x)
γ
pour x > 1,
−x
f (x)
f (x)
= (ln x)
γ−1
(γ ln ln x + 1).
Si γ 1, alors lim
x→+∞
(ln x)
γ−1
(γ ln ln x + 1) = +∞ et la série est donc convergente. D’autre part, si 0 γ < 1, on a alors lim
x→+∞
(ln x)
γ−1
(γ ln ln x + 1) = 0,
ce qui signifie que la série diverge.
III.3.13. On pose
f (x) =
1
x
1+
1
ln ln x ln x
, x > e.
On peut montrer que lim
x→+∞
−x
f (x)
f (x)
= 1 et on ne peut donc pas appliquer
le test donné en III.3.9. On va appliquer celui donné en III.3.10. Pour x
suffisamment grand, on a
−
f (x)
f (x)
−
1
x
x ln x =
ln x
ln ln x
−
ln x
(ln ln x)
2 + 1 > 2
car lim
x→+∞
ln x
ln ln x −
ln x
(ln ln x)
2
= +∞.
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