Chapitre III. Séries de nombres réels
III.3.14. On a (λ n+1 − λ n )
1
λ n+1 f (λ n+1 )
λ n+1
λn
1
tf (t) dt. Donc,
+∞
n=1
1 −
λ n
λ n+1
1
f (λ n+1 )
+∞
λ 1
1
tf (t)
dt < +∞.
On a donc prouvé que la série
+∞
n=1
1 −
λn
λ n+1
1
f (λ n+1 ) est convergente. On note
respectivement {S n } et {S
n } la suite des sommes partielles de la série donnée
dans le problème et la suite des sommes partielles de la série ci-dessus. On a
alors
S N − S
N =
N
n=1
1 −
λ n
λ n+1
1
f (λ n )
−
1
f (λ n+1 )
N
n=1
1
f (λ n )
−
1
f (λ n+1 )
<
1
f (λ 1 )
,
ce qui implique la convergence de la série donnée.
III.3.15. La monotonie de f implique
f (λ n+1 )(λ n+1 − λ n )
λ n+1
λn
f (t) dt f (λ n )(λ n+1 − λ n ).
(∗)
(a) D’après l’inégalité de gauche et les hypothèses, on a
M
+∞
n=1
f (λ n+1 )
+∞
λ 1
f (t) dt < +∞.
(b) L’inégalité de droite dans (∗) implique la divergence de la série
+∞
n=1
f (λ n ).
III.3.16. On suppose d’abord que la série
+∞
n=1
1
f (n) converge. D’après le test
intégral, l’intégrale impropre
+∞
1
1
f (t) dt converge aussi. Une intégration par
parties suivie d’un changement de variable donne
+∞
1
1
f (t)
dt = lim
t→+∞
t
f (t)
−
1
f (1)
+
+∞
1
tf (t)
f 2 (t)
dt
(1)
= lim
t→+∞
t
f (t)
−
1
f (1)
+
+∞
f (1)
f −1 (t)
t 2 dt.
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