Chapitre III. Séries de nombres réels
alors
ϕ(x)
ϕ(x 0 ) f (t) dt
x
x 0
f (t) dt. En conséquence,
ϕ(x)
x
f (t) dt
ϕ(x 0 )
x 0
f (t) dt.
De plus, puisque pour tout n il existe k n ∈ N ∗ tel que n < ϕ(n) < n + k n , on a
I n+kn − I n =
n+kn
n
f (t) dt
ϕ(n)
n
f (t) dt
ϕ(x 0 )
x 0
f (t) dt.
La suite {I n } n’est donc pas une suite de Cauchy et n’est donc pas bornée. La
série diverge alors d’après le test intégral.
III.3.8.
(a) Si lim
x→+∞
−g(x)
f (x)
f (x) − g (x)
> 0, il existe alors x 0 et δ > 0 tels que
−g(x)
f (x)
f (x)
− g
(x) δ pour x x 0 .
Donc, −(g(x)f (x)) δf (x) pour x x 0 . On obtient alors, pour n
suffisamment grand,
n
x 0
f (x) dx
1
δ
n
x 0
− (f (x)g(x))
dx
=
1
δ
(g(x 0 )f (x 0 ) − g(n)f (n))
1
δ
g(x 0 )f (x 0 ).
D’après le test intégral, la série converge donc.
(b) Comme en (a), on obtient −(g(x)f (x)) 0 pour x x 0 . La fonction
gf est donc croissante sur [x 0 , +∞[ et g(x)f (x) g(x 0 )f (x 0 ) si x x 0 .
Ceci signifie que f (x)
f (x 0 )g(x 0 )
g(x)
pour x > x 0 . La suite
n
1 f (x) dx n’est
donc pas bornée car, par hypothèse, la suite
n
1
1
g(x) dx ne l’est pas non
plus.
III.3.9. Il suffit d’appliquer le problème précédent en prenant g(x) = x.
III.3.10. On prend g(x) = x ln x dans III.3.8.
290