Solutions
III.3.6.
(a) On a
N
n=1
a n+1
S n ln S n
=
N
n=1
S n+1 − S n
S n ln S n
N
n=1
S n+1
Sn
1
x ln x
dx
= ln ln S N +1 − ln ln S 1 − −−−− →
N →+∞
+∞.
(b) Comme en (a), on a
N
n=2
a n
S n ln
2 S n
=
N
n=2
S n+1 − S n
S n ln
2 S n
N
n=2
S n+1
Sn
1
x ln
2 x
dx
= −
1
ln S N
+
1
ln S 1
− −−−− →
N →+∞
1
ln S 1
.
III.3.7. Si
ϕ (x)f (ϕ(x))
f (x)
q < 1 pour x > x 0 ,
alors
ϕ(x)
ϕ(x 0 )
f (t) dt =
x
x 0
ϕ
(t)f (ϕ(t)) dt q
x
x 0
f (t) dt.
D’où,
(1 − q)
ϕ(x)
ϕ(x 0 )
f (t) dt q
x
x 0
f (t) dt −
ϕ(x)
ϕ(x 0 )
f (t) dt
= q
ϕ(x 0 )
x 0
f (t) dt −
ϕ(x)
x
f (t) dt
q
ϕ(x 0 )
x 0
f (t) dt.
Donc, d’après le test intégral, la série
+∞
n=1
f (n) est convergente.
Si maintenant
ϕ (x)f (ϕ(x))
f (x)
1 pour x > x 0 ,
289