Chapitre III. Séries de nombres réels
III.3.3. On a S N − I N − (S N +1 − I N +1 ) =
N +1
N
f (x) dx − f (N + 1) 0.
De plus, f (n)
n
n−1 f (x) dx f (n − 1) pour n = 2, 3, . . . , N. En additionnant membre à membre ces inégalités pour n variant de 2 à N , on obtient
S N − f (1) I(N ) S(N ) − f (N ). Donc, 0 < f(N ) S(N ) − I(N ) f (1),
ce qui complète la démonstration.
III.3.4. La convergence des suites données se déduit du problème précédent.
Il reste à montrer que les limites de ces suites appartiennent à ]0 , 1[.
(a) Puisque f (x) =
1
x est une fonction strictement décroissante sur l’intervalle ]0 , +∞[, S N − I N < S 2 − I 2 < f(1) = 1 pour N > 2 et
f (2) + f (3) + . . . + f (N − 1) + f (N ) >
f (2) + f (3) + . . . + f (N − 1) >
N
2
f (x) dx
ou, de façon équivalente, S N − f (1) > I N − I 2 . Finalement,
0 < 1 − I 2 lim
N →+∞
(S N − I N ) S 2 − I 2 < 1.
(Voir aussi II.1.41 et III.1.36.)
(b) La démonstration est semblable à celle de (a).
III.3.5.
(a) La convergence de la série
+∞
n=2
1
n(ln n)
α est équivalente au fait que la suite
n
2
1
x(ln x)
α dx soit bornée. Pour α = 1,
n
2
1
x (ln x)
α dx =
(ln n)
−α+1
−α + 1
−
(ln 2)
−α+1
−α + 1
.
La série est donc convergente si α > 1 et divergente si 0 < α < 1. Clairement, si α 0, la série est alors divergente. Finalement, si α = 1, alors
n
2
1
x ln x dx = ln(ln n) − ln(ln 2). La suite
n
2
1
x ln x dx n’est pas bornée et
la série diverge donc.
(b) Dans ce cas, on a
n
3
1
x ln x ln(ln x)
dx = ln(ln(ln n)) − ln(ln(ln 3)).
La série est donc divergente d’après le test intégral.
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