Solutions
III.2.78. On suppose d’abord que
f (ϕ(n))(ϕ(n + 1) − ϕ(n))
f (n)
q < 1.
On a alors, d’après l’inégalité (1) du problème précédent,
S ϕ(n)−1 <
ϕ(1)−1
k=1
f (k) + qS n−1 .
Du fait que ϕ(n) > n, on a donc (1 − q)S n−1 <
ϕ(1)−1
k=1
f (k) et la convergence
de
+∞
n=1
f (n) est prouvée. On peut utiliser l’inégalité (2) du problème précédent
et procéder comme ci-dessus pour prouver la seconde partie du problème.
III.2.79. On peut utiliser le résultat du problème précédent en prenant
ϕ(n) = 2n.
III.2.80. On peut appliquer le résultat du problème III.2.78 en prenant
ϕ(n) = 2 n .
III.2.81. Appliquez le résultat du problème III.2.77 en prenant respectivement
ϕ(n) = 3
n ,
ϕ (n) = n
2 ,
ϕ (n) = n
3 .
III.2.82.
(1) On a a n b n − a n+1 b n+1 Ca n+1 . La suite {a n b n } est positive et décroissante donc convergente et la série télescopique
+∞
n=1
(a n b n − a n+1 b n+1 )
converge. La convergence de la série
+∞
n=1
a n s’en déduit par le test de
comparaison.
(2) On a
a n+1
a n
1
b n+1
1
bn
.
La divergence de la série
+∞
n=1
a n se déduit alors du test donné au problème III.2.3.
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