Chapitre III. Séries de nombres réels
III.2.83. Pour obtenir le test du quotient de d’Alembert, on prend b n = 1
pour n ∈ N ∗ . En posant b n = n pour n ∈ N ∗ , on obtient le test de Raabe et
en posant b n = n ln n pour n = 2, 3, . . ., on arrive au test de Bertrand.
III.2.84. [J. Tong, Amer. Math. Monthly, 101(1994), 450-452].
(1) On pose S =
+∞
n=1
a n et
b n =
S −
n
k=1
a k
a n
=
r n
a n
.
Bien sûr, b n > 0 pour tout n ∈ N ∗ . De plus,
b n
a n
a n+1
− b n+1 =
r n
a n+1
−
r n+1
a n+1
=
a n+1
a n+1
= 1.
(2) Dans ce cas, on pose
b n =
n
k=1
a k
a n
=
S n
a n
.
La série
+∞
n=1
1
bn est alors divergente (voir, par exemple, le problème III.2.10). De plus,
b n
a n
a n+1
− b n+1 =
S n+1
a n
−
S n+1
a n+1
=
−a n+1
a n+1
= −1.
III.2.85.
(a) Il suffit d’appliquer le test du quotient à chacune des séries :
+∞
n=1
a kn ,
+∞
n=1
a 1+kn , . . . ,
+∞
n=1
a (k−1)+kn .
(b) Il suffit d’appliquer le test de Raabe (voir III.2.19) à chacune des séries
données dans la solution de (a).
III.2.86. Par hypothèse, il existe K > 0 tel que
ϕ n K
1
ln n
pour n 2.
On définit les sous-ensembles N 1 et N 2 de N ∗ comme suit :
N 1 =
n : a n
1
n 2
et N 2 = N
∗
\ N 1 .
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