Chapitre III. Séries de nombres réels
Donc,
+∞
n=n 2
a n
T α
n
=
+∞
m=2
n m+1 −1
k=nm
a k
T α
k
+∞
m=2
S n m+1 −1 − S nm−1
T α
nm
<
+∞
m=2
1
T α
nm
<
+∞
m=2
1
m 2 +m
2
α .
La série en question est donc convergente si α >
1
2 . La série peut être divergente
si α
1
2 . En effet, il suffit de prendre a n = 1, n ∈ N ∗ .
III.2.76. D’après le III.2.35, lim
n→+∞
n
an = 0. On choisit 0 < K < 1. Il existe
alors n 0 tel que n Ka n pour n n 0 . D’où,
ln
k a n
a n
ln
k
1
K
ln
k n
a n
.
La convergence de la série
+∞
n=1
ln
k an
an implique donc la convergence de
+∞
n=1
ln
k n
an .
Pour démontrer l’autre implication, on pose
I 1 =
n ∈ N
∗
: a n n
k+2
et I 2 = N
∗
\ I 1 .
On a alors, pour n ∈ I 1 , ln a n (k + 2) ln n et la convergence de
n∈I 1
ln
k n
an
implique celle de
n∈I 1
ln
k an
an . De plus, pour n ∈ I 2 suffisamment grand, on a
ln
k a n
a n
<
a
k
k+1
n
a n
<
1
n
k+2
k+1
.
Donc,
n∈I 2
ln
k an
an < +∞ car
k+2
k+1 > 1.
III.2.77. On a
ϕ(n)−1
k=1
f (k) =
ϕ(1)−1
k=1
f (k) + (f (ϕ(1)) + f (ϕ(1) + 1) + . . . + f (ϕ(2) − 1))
+ . . . + (f (ϕ(n − 1)) + f (ϕ(n − 1) + 1) + . . . + f (ϕ(n) − 1))
<
ϕ(1)−1
k=1
f (k) +
n−1
k=1
f (ϕ(k))(ϕ(k + 1) − ϕ(k)).
L’inégalité (1) est donc prouvée. L’inégalité (2) se démontre de la même façon.
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