Solutions
III.2.74. On obtient
lim
n→+∞
+∞
k=2
1
k n+1
+∞
k=2
1
k n
= lim
n→+∞
1
2 n+1
1 +
2 n+1
3 n+1 +
2 n+1
4 n+1 + . . .
1
2 n
1 +
2 n
3 n +
2 n
4 n + . . .
=
1
2
,
car les sommes entre parenthèses tendent vers 1 lorsque n tend vers +∞. En
effet,
2 n+1
3 n+1 +
2 n+1
4 n+1 + . . . = 2
n+1
+∞
k=3
1
k n+1 .
De plus,
+∞
k=3
1
k n+1 =
1
3 n+1 +
+∞
k=2
1
(2k)
n+1 +
+∞
k=2
1
(2k + 1)
n+1
1
3 n+1 + 2
+∞
k=2
1
(2k)
n+1
=
1
3 n+1 +
1
2 2n+1 +
1
2 n
+∞
k=3
1
k n+1 .
Donc,
2
n+1
+∞
k=3
1
k n+1
2
3
n+1 +
1
2 n
1 −
1
2 n
et
2
n+1
+∞
k=3
1
k n+1 − −−−− →
n→+∞
0.
III.2.75. On suppose d’abord que la série
+∞
n=1
a n converge. La convergence
de la série étudiée se déduit de l’inégalité
1
T α
n
1
a α
1
. Si la série
+∞
n=1
a n diverge, il
existe alors une suite strictement croissante {n m } d’entiers strictement positifs
telle que S nm−1 m < S nm . On a alors
T nm = S 1 + . . . + S nm S n 1 + . . . + S nm >
m(m + 1)
2
.
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