Chapitre III. Séries de nombres réels
III.2.71. L’inégalité entre les moyennes arithmétique et harmonique (voir,
par exemple, I.2.3) donne
2 k
n=2 k−1 +1
1
nan−(n−1)a n−1
2 k−1
2 k−1
2 k
n=2 k−1 +1
(na n − (n − 1)a n−1 )
=
2 k−1
2 k a 2 k − 2 k−1 a 2 k−1
1
2a 2 k
.
Donc,
2 k
n=2 k−1 +1
1
na n − (n − 1)a n−1
2 k
4a 2 k
.
D’où,
S 2 k
k
l=1
2 l
4a 2 l
.
La divergence de la série se déduit alors du théorème de condensation de Cauchy (voir III.2.28).
III.2.72. On prouve que la série
+∞
n=1
1
pn est divergente. On suppose pour ce
faire qu’elle est convergente. Il existe donc un entier n tel que
+∞
m=n+1
1
pm <
1
2 .
On pose a = p 1 p 2 · · · p n . L’entier 1 + ka pour k ∈ N ∗ peut s’écrire comme un
produit de nombres premiers et cette factorisation, unique, ne contient aucun
des nombres p 1 , p 2 , . . . , p n . Donc,
+∞
k=1
1
1 + ka
<
+∞
l=1
1
p m
l
<
+∞
l=1
1
2
l
= 1,
contradiction.
III.2.73. Il suffit d’appliquer les résultats du problème précédent et du problème III.2.71.
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