Solutions
III.2.70. On pose T n = a 1 + a 2 + . . . + a n et on note S n la n-ième somme
partielle de la série considérée. On a alors
S n =
1
a 1
+
N
n=2
n 2 (T n − T n−1 )
T 2
n
1
a 1
+
N
n=2
n 2 (T n − T n−1 )
T n−1 T n
=
1
a 1
+
N
n=2
n 2
T n−1
−
N
n=2
n 2
T n
=
1
a 1
+
N −1
n=1
(n + 1)
2
T n
−
N
n=2
n 2
T n
5
a 1
+
N −1
n=2
2n
T n
+
N −1
n=2
1
T n
5
a 1
+
N
n=1
2n
T n
+
N
n=1
1
T n
.
De plus, d’après l’inégalité de Cauchy (voir I.2.12), on a
N
n=1
n
T n
2
N
n=1
n 2 a n
T 2
n
N
n=1
1
a n
S N M,
où M =
+∞
n=1
1
an . Donc,
N
n=1
n
T n
S N ·
√
M
et, en conséquence, S N
5
a 1
+ 2
√
S N
√
M + M , d’où
S N
√
M +
2M +
5
a 1
2
.
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