Chapitre III. Séries de nombres réels
III.2.69. En écrivant
c n =
(n + 1)
n
· · · (n + k − 1)
n
(n + k)
n
n n−1 · · · (n + k − 2)
n−1
(n + k − 1)
n−1
=
n + k
n
n
n(n + 1) · · · (n + k − 1),
on obtient c 1 · · · c n = (n + 1)
n
· · · (n + k)
n . On a donc, comme dans la solution
du problème précédent,
N
n=1
n
√ a 1 · · · a n
N
n=1
a 1 c 1 + . . . + a n c n
n(n + 1) · · · (n + k)
= a 1 c 1
1
1 × 2 × . . . × (1 + k)
+ . . . +
1
N (N + 1) · · · (N + k)
+ a 2 c 2
1
2 × 3 × . . . × (2 + k)
+ . . . +
1
N (N + 1) · · · (N + k)
+ . . . + a N c N
1
N (N + 1) · · · (N + k)
<
1
k
1
k!
a 1 c 1 +
1
2 × 3 × . . . × (1 + k)
a 2 c 2
+ . . . +
1
N (N + 1) · · · (N + k − 1)
a N c N
,
la dernière inégalité se déduisant du problèm III.1.4 (a). Puisque
1
l(l + 1) · · · (l + k − 1)
c l =
l + k
l
l
,
on obtient l’inégalité cherchée en faisant tendre N vers +∞.
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