Solutions
De plus,
1 +
1
2
1 +
1
2 2
· · ·
1 +
1
2 n−1
= exp
n−1
k=1
ln
1 +
1
2 k
exp
n−1
k=1
1
2 k
< e.
III.2.68. On pose c n =
(n+1)
n
n n−1 = n
n+1
n
n pour n ∈ N ∗ . On a
c 1 · · · c n = (n + 1)
n
et c n < ne.
(∗)
En utilisant l’inégalité entre les moyennes arithmétique et géométrique (voir,
par exemple, I.2.3), on arrive à
n
√
a 1 · · · a n =
1
n + 1
n
√
a 1 c 1 × · · · × a n c n
a 1 c 1 + . . . + a n c n
n(n + 1)
.
Donc,
N
n=1
n
√ a 1 · · · a n
N
n=1
a 1 c 1 + . . . + a n c n
n(n + 1)
= a 1 c 1
1
1 × 2
+
1
2 × 3
+ . . . +
1
N (N + 1)
+ a 2 c 2
1
2 × 3
+
1
3 × 4
+ . . . +
1
N (N + 1)
+ . . . + a N c N
1
N (N + 1)
< a 1 c 1 +
1
2
a 2 c 2 +
1
3
a 3 c 3 + . . . +
1
N
a N c N
2a 1 + ea 2 + . . . + ea N ,
la dernière inégalité se déduisant de (∗). On obtient l’inégalité demandée en
faisant tendre N vers +∞.
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