Chapitre III. Séries de nombres réels
s a n 1 −1 r n 1 s et r n 1 = s. Dans le premier cas, on détermine le premier
terme a n 2 pour lequel n 2 > n 1 + k 1 et r n 1 ,k 1 + a n 2 < s. Soit il existe k 2 tel que
r n 1 ,k 1 + r n 2 ,k 2 < s r n 1 ,k 1 + r n 2 ,k 2 +1 ,
soit r n 1 ,k 1 + r n 2 = s. Cette procédure peut se répéter et si le premier cas se
produit à chaque étape, alors s = r n 1 ,k 1 + r n 2 ,k 2 + . . ..
III.2.63. [20]. On suppose, contrairement à la proposition, qu’il existe k ∈ N ∗
tel que a k = 2p +
+∞
n=k+1
a n , où p > 0. On a alors
a k − p = p +
+∞
n=k+1
a n =
+∞
n=1
ε n a n ,
où ε n prend pour valeur 0 ou 1. La monotonie de {a n } implique ε n = 0 pour
n k. Donc, a k − p =
+∞
n=1
ε n a n
+∞
n=k+1
a n = a k − 2p, contradiction.
III.2.64. D’après le théorème de Stolz (voir II.3.11), on a
lim
n→+∞
a 1 S
−1
1 + a 2 S
−1
2 + . . . + a n S −1
n
ln S n
= lim
n→+∞
a n S −1
n
− ln
1 − a n S
−1
n
= 1,
la dernière égalité découlant, par exemple, de II.5.5.
III.2.65. Posez a n = 1, n ∈ N ∗ .
III.2.66. Puisque
a 1 +a 2 +...+an
n
>
a 1
n , la série
+∞
n=1
a 1 +a 2 +...+an
n
est divergente
pour toute suite {a n } strictement positive et cette divergence est indépendante
du comportement de la série
+∞
n=1
a n .
III.2.67. Par hypothèse,
a 2 a 1 ,
2 n
k=2 n−1 +1
a k
1
2 n−1
2 n−1
k=1
a k .
On a alors par récurrence
2 n
k=1
a k 2
1 +
1
2
1 +
1
2 2
· · ·
1 +
1
2 n−1
a 1 .
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