Solutions
III.2.58. L’équivalence de ces tests a été prouvée dans la solution du problème III.2.19. D’après II.5.34, si le critère de Raabe permet de conclure,
il en est de même du critère donné au problème précédent. Pour prouver que
la réciproque est fausse, on considère la série de terme général a n défini par
a 2n−1 =
1
n 2 et a 2n =
1
4n 2 .
III.2.59. On pose b n =
2 +
2 + . . . +
√ 2
n racines
. On a b n = 2 cos
π
2 n+1 (comparez avec II.5.41). Par définition de {a n }, on a a 2
n = 2 − b n−1 , d’où
a n = 2 sin
π
2 n+1 <
π
2 n . La série considérée converge donc.
III.2.60. Soit K ∈ R ∗
+ tel que
(a 1 − a n ) + (a 2 − a n ) + . . . + (a n−1 − a n ) K pour n ∈ N
∗ .
On a a 1 + . . . + a n − na n K pour tout n ∈ N ∗ . On se donne m ∈ N ∗ . La
monotonie de la suite {a n } et sa convergence vers 0 impliquent qu’il existe
n 0 ∈ N ∗ tel que
a n
1
2
a m pour n n 0 .
(∗)
On a
a 1 + . . . + a m − ma n + a m+1 + . . . + a n − (n − m)a n K.
La monotonie de {a n } donne
a m+1 + . . . + a n (n − m)a n et a 1 + . . . + a m ma m .
Donc, m(a m − a n ) = ma m − ma n a 1 + a 2 + . . . + a m − ma n K. Ceci et
(∗) impliquent
1
2 ma m m(a m − a n ) K. Finalement,
S m = a 1 + a 2 + . . . + a m = S m − ma m + ma m K + ma m 3K.
III.2.61. On déduit des relations
a n = a n+1 + a n+2 + a n+3 + . . . et a n+1 = a n+2 + a n+3 + . . .
que a n+1 =
1
2 a n . On a alors, par récurrence, a n =
1
2 n pour tout n ∈ N ∗ .
III.2.62. [20]. On pose r n,k = a n + a n+1 + . . . + a n+k pour n ∈ N ∗ et
k ∈ N et lim
k→+∞
r n,k = r n pour n ∈ N ∗ . On se donne s ∈ ]0 , S[ et on note
a n 1 le premier terme de la suite {a n } tel que a n 1 < s. Soit il existe un
k 1 tel que r n 1 ,k 1 < s r n 1 ,k 1 +1 , soit r n 1 s. On a, dans le second cas,
277