Chapitre III. Séries de nombres réels
III.2.56.
(a) [A. J. Kempner, Amer. Math. Monthly 23(1914), 48-50]. Un nombre à k
chiffres appartenant à A peut s’écrire sous la forme
10
k−1 a 1 + 10
k−2 a 2 + . . . + a k , où 0 < a i 9, i = 1, 2, . . . , k.
Pour un k donné, il y a 9 k nombres à k chiffres dans A et chacun d’eux
est supérieur à 10 k−1 . Donc,
n∈A
1
n
<
+∞
k=1
9 k
10 k−1 = 90.
(b) Comme en (a), on a
n∈A
1
n α <
+∞
k=1
9 k
10 α(k−1) .
Donc, si α > log 10 9, la série
n∈A
1
n α converge. De plus, puisque
n∈A
1
n α >
+∞
k=1
9 k
(10 k − 1)
α >
+∞
k=1
9 k
10 kα ,
la série
n∈A
1
n α diverge si α log 10 9.
Remarque. Soit A k l’ensemble des entiers strictement positifs dont l’écriture
décimale ne contient pas le chiffre k. De la même façon que précédemment, on
peut prouver que
n∈A k
1
n α converge si α > log 10 9.
III.2.57. On suppose que −∞ < g < 1 et on prend ε > 0 suffisamment petit
pour que g + ε < 1. Pour n suffisamment grand, on a alors ln
1
an < (g + ε) ln n
et a n >
1
n g+ε . La série diverge donc. Si g = −∞, alors (pour n suffisamment
grand) ln
1
an < −1 × ln n et a n > n. La série diverge donc encore. La même
démonstration fonctionne aussi pour g > 1. Considérons deux séries :
+∞
n=1
1
n et
+∞
n=2
1
n ln
2 n
. La première diverge et la seconde converge alors que pour chacune,
g = 1.
276