Solutions
De la même façon, la série
+∞
n=1
b 2 n diverge si et seulement si la série condensée
de termes
2
n b 2 2 n = min
2
n a 2 2 n ,
1
ln 2
diverge et cette dernière série est divergente. En effet, si une série
+∞
n=1
d n est
divergente, alors la série
+∞
n=1
min {d n , c}, où c > 0 est aussi divergente. Si
min {d n , c} = c pour une infinité de valeurs de n, alors la série
+∞
n=1
min {d n , c}
diverge. Si min {d n , c} = c pour un nombre fini de valeurs de n, la divergence
résulte alors de celle de la série
+∞
n=1
d n .
III.2.42. On a
1 −
a n
a n+1
=
a n+1 − a n
a n+1
a n+1 − a n
a 1
.
Ceci et la convergence de la série télescopique
+∞
n=1
(a n+1 − a n ) impliquent la
convergence de la série étudiée.
III.2.43. On a
1 −
a n
a n+1
=
a n+1 − a n
a n+1
.
En posant b n = a n+1 − a n et S n = b 1 + . . . + b n , on obtient
bn
Sn+a 1
=
a n+1 −an
a n+1
.
La divergence de la série étudiée se déduit donc du problème III.2.10.
III.2.44. Si la suite {a n } n’est pas bornée, la convergence de la série considérée se déduit du problème III.2.11. On peut, pour le voir, appliquer des
arguments semblables à ceux utilisés dans la solution du problème précédent.
On suppose maintenant que la suite {a n } est bornée. On a alors
a n+1 − a n
a n+1 a α
n
1
a 2 a α
1
(a n+1 − a n ) .
La convergence de notre série se déduit alors de celle de la série télescopique
+∞
n=1
(a n+1 − a n ).
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