Chapitre III. Séries de nombres réels
On montre que la convergence de la série
+∞
n=1
a n+1
nan implique la divergence
de la série
+∞
n=1
1
nan . D’après le critère de Cauchy, il existe k ∈ N ∗ tel que
k+n
i=k+1
a i+1
ia i
<
1
4 pour tout n ∈ N ∗ . Donc,
n
n+k
k+n
i=k+1
a i+1
na i
<
1
4 et, pour n > k,
k+n
i=k+1
a i+1
na i
<
1
4
·
k + n
n
<
1
2
.
L’inégalité entre les moyennes arithmétique et géométrique implique
n
a k+n+1
a k+1
<
1
2
et a k+n+1 <
a k+1
2 n .
Donc,
1
(k + n + 1)a k+n+1
>
2 n
(k + n + 1)a k+1
et la série
+∞
n=1
1
nan est alors divergente.
III.2.40. La série
+∞
n=1
c n peut bien sûr diverger (par exemple si a n b n pour
tout n ∈ N ∗ ). Étonnamment, elle peut aussi converger. En effet, considérez les
séries dont les termes sont
1,
1
2 2 ,
1
2 2 ,
1
2 2 ,
1
2 2 ,
1
2 2 ,
1
7 2 ,
1
8 2 ,
1
9 2 , . . .
et
1,
1
2 2 ,
1
3 2 ,
1
4 2 ,
1
5 2 ,
1
7 2 ,
1
8 2 ,
1
8 2 , . . . ,
1
8 2
8 2 + 1 termes
, . . .
Chacune des séries contient une infinité de blocs de termes dont la somme est
supérieure à 1 et chacune diverge donc. Cependant, c n =
1
n 2 et
+∞
n=1
c n converge.
III.2.41. On utilise le théorème de condensation de Cauchy (voir III.2.28).
La divergence de la série
+∞
n=1
bn
n est équivalente à celle de la série dont les
termes sont
b 2 n = min
a 2 n ,
1
n ln 2
.
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