Solutions
III.2.36. On pose
a n =
1
n
pour n = k 2 , k ∈ N ∗ ,
1
n 2
sinon.
La série
+∞
n=1
a n est convergente mais la limite lim
n→+∞
na n n’existe pas.
III.2.37. La condition que l’on cherche est la convergence de la série
+∞
n=1
√ a n .
En effet, si
+∞
n=1
√
a n converge, on prend alors b n =
√ a n .
On suppose maintenant qu’il existe une suite {b n } telle que les deux séries
+∞
n=1
b n et
+∞
n=1
an
bn convergent. On a alors
√
a n =
b n
a n
b n
1
2
b n +
a n
b n
,
et la série
+∞
n=1
√ a n converge donc.
III.2.38. On suppose qu’il existe une suite {a n } telle que les deux séries
+∞
n=1
a n et
+∞
n=1
1
n 2 an
convergent. On pose
A =
n s ∈ N
∗
:
1
n s
1
n 2
s a ns
et A
= N
∗
\ A.
On a
ns∈A
1
ns < +∞ et
ns∈A
1
ns = +∞ (A peut bien sûr être l’ensemble
vide).
On remarque alors que a ns >
1
ns pour n s ∈ A et la série
+∞
n=1
a n diverge
donc, contredisant notre hypothèse.
III.2.39. On a
+∞
n=1
1
n
·
1 + a n+1
a n
=
+∞
n=1
1
na n
+
+∞
n=1
a n+1
na n
.
271