Chapitre III. Séries de nombres réels
III.2.33. Une analyse semblable à celle du problème précédent donne
a n
1
n (ln n)
1+ε
pour n > k et pour un ε > 0.
Donc, d’après le problème III.2.29 (a), la série
+∞
n=1
a n est convergente.
III.2.34.
S 2 n 0 +k −1 − S 2 n 0 −1 =
a 2 n 0 + a 2 n 0 +1 + . . . + a 2 n 0 +1 −1
+
a 2 n 0 +1 + . . . + a 2 n 0 +2 −1
+ . . .
+
a 2 n 0 +k−1 + . . . + a 2 n 0 +k −1
2
n 0 a 2 n 0 + 2
n 0 +1 a 2 n 0 +1 + . . . + 2
n 0 +k−1 a 2 n 0 +k−1
g(a n 0 + a n 0 +1 + . . . + a n 0 +k−1 ).
Donc, pour k suffisamment grand,
(1 − g)
2 n 0 +k −1
n=2 n 0
a n g
⎛
⎝
2 n 0 −1
n=n 0
a n −
2 n 0 +k −1
n=n 0 +k
a n
⎞
⎠ g
2 n 0 −1
n=n 0
a n .
La suite des sommes partielles est donc bornée et la série converge.
III.2.35. Supposons que la série
+∞
n=1
a n converge. On a alors
lim
n→+∞
2n
k=n+1
a k = lim
n→+∞
2n+1
k=n+1
a k = 0.
La monotonie de {a n } implique alors
2n
k=n+1
a k
2n
k=n+1
a 2n = na 2n =
1
2
(2na 2n )
et
2n+1
k=n+1
a k
2n+1
k=n+1
a 2n+1 =
n + 1
2n + 1
(2n + 1) a 2n+1 .
Il s’ensuit que lim
n→+∞
na n = 0.
Posons a n =
1
n ln(n+1) . La série de terme général a n est divergente et pourtant
lim
n→+∞
na n = lim
n→+∞
1
ln(n + 1)
= 0.
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