Solutions
(b) On obtient, en appliquant le théorème de Schlömilch à g n = n 2 , l’équiconvergence (4) des séries
+∞
n=1
a n et
+∞
n=1
(2n + 1)a n 2 . Puisque
lim
n→+∞
(2n + 1)a n 2
na n 2
= 2,
les séries
+∞
n=1
(2n + 1)a n 2 et
+∞
n=1
na n 2 sont équiconvergentes.
(c) Comparez avec (b).
(d) D’après (b), les séries
+∞
n=1
1
2
√ n et
+∞
n=1
n
2 n sont équiconvergentes. Cette
dernière est convergente, par exemple par le test de la racine. On peut
utiliser le test de condensation de Cauchy ou le test donné en (a) pour
déterminer la convergence ou la divergence des séries
+∞
n=1
1
2 ln n ,
+∞
n=1
1
3 ln n
et
+∞
n=1
1
a ln n . On étudie maintenant le comportement de la série
+∞
n=2
1
a ln ln n .
Si a > 1, la convergence de cette série est alors équivalente à celle de
la série
+∞
n=1
3 n
a ln n et on vérifie facilement que cette dernière série diverge,
par exemple avec le test de la racine. Ceci prouve la divergence de la
série
+∞
n=2
1
a ln ln n pour a > 1. Si 0 < a 1, on observe que la condition
nécessaire de convergence n’est pas vérifiée.
III.2.32. D’après le problème II.4.13 (a), il existe ε > 0 et k ∈ N ∗ tels
que
(a n )
1
ln n < e
−1−ε , n > k.
Donc,
1
ln n ln a n < −1− ε, d’où a n <
1
n 1+ε et le test de comparaison assure alors
la convergence de la série
+∞
n=1
a n .
(4) Deux séries
+∞
n=1
an et
+∞
n=1
bn convergentes ou divergentes sont équiconvergentes si leur différence est une série convergente de somme nulle :
+∞
n=1
(an −bn) = 0. Si leur différence est seulement
une série convergente, les séries sont dites équiconvergentes au sens large. (N.d.T.)
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