Chapitre III. Séries de nombres réels
III.2.29.
(a) On applique le test de condensation de Cauchy (III.2.28). La série
condensée étant
+∞
n=1
2 n
2 n (ln 2 n )
α =
+∞
n=1
1
(n ln 2)
α ,
la série converge pour α > 1 et diverge pour 0 < α 1. Si α 0, la
divergence de la série
+∞
n=2
1
n(ln n)
α se déduit immédiatement du test de
comparaison.
(b) L’égalité
+∞
n=2
2 n
2 n ln 2 n ln ln 2 n =
+∞
n=2
1
n ln 2 ln(n ln 2)
et (a) impliquent la divergence de la série étudiée.
III.2.30. On peut appliquer un raisonnement semblable à celui de la démonstration du test de condensation de Cauchy (III.2.28). Pour n g k , on a
S n S g k (a 1 + . . . + a g 1 −1 ) + (a g 1 + . . . + a g 2 −1 ) + . . . + (a g k + . . . + a g k+1 −1 )
(a 1 + . . . + a g 1 −1 ) + (g 2 − g 1 )a g 1 + . . . + (g k+1 − g k )a g k .
Pour n > g k , on a
cS n cS g k c(a g 1 + . . . + a g 2 ) + . . . + c(a g k−1 + . . . + a g k )
c(g 2 − g 1 )a g 2 + . . . + c(g k − g k−1 )a g k
(g 3 − g 2 )a g 2 + . . . + (g k+1 − g k )a g k .
Ces inégalités prouvent la proposition.
III.2.31.
(a) Il suffit d’appliquer le théorème de Schlömilch (III.2.30) en prenant
g n = 3 n .
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