Solutions
Le test de Raabe implique donc la convergence de la série pour α > 1 et sa
divergence pour α < 1. Dans le cas α = 1, la divergence de la série se déduit
du test donné dans le problème précédent car
a n+1
a n
= 1 −
1
n
−
θ n
n λ = 1 −
1
n
−
γ n
n ln n
,
où γ n =
θn ln n
n λ−1 Γ < 1 pour un certain Γ.
III.2.26. On applique le critère de Gauss donné au problème précédent. On a
a n+1
a n
=
n 2 + (α + β)n + αβ
n 2 + (1 + γ)n + γ
= 1 −
1 + γ − α − β
n
−
θ n
n 2 .
La série considérée converge donc si α + β < γ et diverge si α + β γ.
III.2.27. On utilise, comme dans la démonstration précédente, le critère de
Gauss. On a
a n+1
a n
= 1 −
p
2
n
−
θ n
n 2 .
La série converge donc si p > 2 et diverge si p 2.
III.2.28. On note respectivement S n et
S n les sommes partielles des séries
+∞
n=1
a n et
+∞
n=1
2 n a 2 n . On a alors, pour n 2 k ,
S n a 1 + (a 2 + a 3 ) + . . . + (a 2 k + . . . + a 2 k+1 −1 ) a 1 + 2a 2 + . . . + 2
k a 2 k =
S k .
Pour n > 2 k , on a
S n a 1 + a 2 + (a 3 + a 4 ) + . . . + (a 2 k−1 +1 + . . . + a 2 k )
a 2 + 2a 4 + . . . + 2
k−1 a 2 k =
1
2
S k .
Les suites {S n } et {
S n } sont donc soit toutes les deux bornées, soit toutes les
deux non bornées.
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