Chapitre III. Séries de nombres réels
D’où, pour n suffisamment grand,
a n (n − 1) ln(n − 1) − a n+1 n ln n (1 − ε)a n > 0.
La suite positive a n (n−1) ln(n−1) est décroissante, donc convergente. Ceci implique la convergence de la série de terme général a n (n−1) ln(n−1)−a n+1 n ln n.
La dernière inégalité et le test de convergence impliquent alors la convergence
de la série
+∞
n=1
a n .
III.2.24. Par hypothèse,
a n ((n − 1) ln n − 1) − a n+1 n ln n = (γ n − 1)a n .
Si γ n Γ > 1, alors
a n ((n − 1) ln n − 1) − a n+1 n ln n (Γ − 1)a n .
(1)
En combinant (1) à l’inégalité (n − 1) ln(n − 1) > (n − 1) ln n − 1, on obtient
a n (n − 1) ln(n − 1) − a n+1 n ln n (Γ − 1)a n > 0.
(2)
Ceci signifie que la suite {a n (n − 1) ln(n − 1)} est décroissante, donc convergente. La série de terme général a n (n − 1) ln(n − 1) − a n+1 n ln n est alors
convergente et, d’après (2), la série
+∞
n=1
a n est aussi convergente.
Si γ n Γ < 1, alors a n ((n − 1) ln n − 1) − a n+1 n ln n (Γ − 1)a n . Donc,
a n (n − 1) ln(n − 1) − a n+1 n ln n
Γ + ln
1 −
1
n
n−1
a n .
Puisque
lim
n→+∞
Γ + ln
1 −
1
n
n−1
= Γ − 1 < 0,
la suite {a n+1 n ln n} est croissante (excepté pour un nombre fini d’indices n).
Il existe donc M > 0 tel que a n+1 n ln n > M, d’où a n+1 >
M
n ln n , ce qui prouve
la divergence de la série
+∞
n=1
a n .
III.2.25. On a
lim
n→+∞
n
a n
a n+1
− 1
= lim
n→+∞
α +
θn
n λ−1
1 −
α
n −
θn
n λ
= α.
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