Solutions
D’après le test de comparaison, la série est donc convergente pour β > α. On
suppose maintenant que β α. On a déjà montré que lim
n→+∞
a n = 0. Donc,
pour n suffisamment grand, 0 < a n < 1 et a α
n a
β
n . Cette inégalité et la
divergence de la série
+∞
n=1
a α
n impliquent la divergence de la série
+∞
n=1
a
β
n .
III.2.22. On remarque que
lim
n→+∞
n
a n
a n+1
− 1
= lim
n→+∞
n
n + 1
a = a.
D’après le test de Raabe, la série est convergente pour a > 1 et divergente
pour 0 < a < 1. Pour a = 1, la série se réduit à la série harmonique divergente
+∞
n=1
1
n+1 .
III.2.23. On a
lim
n→+∞
n
a n
a n+1
− 1
= lim
n→+∞
nb n+1
(n + 1)a
=
b
a
.
D’après le test de Raabe, la série est convergente pour b > a et divergente
pour b < a. Dans le cas où b = a, la convergence de la série dépend de la suite
{b n }. En effet, si {b n } est une suite constante, la série étudiée se réduit à la
série harmonique
+∞
n=1
1
n+1 .
On montre maintenant que si b n = a +
2a
ln(n+1) , la série converge. En fait,
a n =
n!
2 +
2
ln 2
3 +
2
ln 3
· · ·
n + 1 +
2
ln(n+1)
.
Donc,
a n (n − 1) ln(n − 1) − a n+1 n ln n = a n
(n − 1) ln(n − 1) −
(n + 1)n ln n
n + 2 +
2
ln(n+2)
.
Un calcul donne
lim
n→+∞
(n − 1) ln(n − 1) −
(n + 1)n ln n
n + 2 +
2
ln(n+2)
= 1.
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