Chapitre III. Séries de nombres réels
lim
n→+∞
n
an
a n+1
− 1
= +∞, pour tout A > 0, il existe alors n 0 tel que
an
a n+1
− 1 >
A
n pour n > n 0 . Donc,
n ln
a n
a n+1
= ln
1 +
a n
a n+1
− 1
n
> ln
1 +
A
n
n
− −−−− →
n→+∞
A
et A pouvant être choisi arbitrairement grand, on a lim
n→+∞
n ln
an
a n+1
= +∞.
Les mêmes arguments s’appliquent au cas r = −∞.
III.2.20. Puisque que la suite {a n } est croissante,
0 < n
1
an
1
a n+1
− 1
=
1
n
a n−1
a n
<
1
n
.
D’après le test de Raabe, la série diverge.
III.2.21. Par définition de la suite,
a n = a 1 e
−
n−1
k=1
a α
k
pour n ∈ N
∗ .
On montre d’abord que
+∞
n=1
a α
n est divergente. En effet, si
+∞
n=1
a α
n = S < +∞,
alors lim
n→+∞
a n = a 1 e −S > 0 et lim
n→+∞
a α
n > 0, ce qui est contradictoire avec la
condition nécessaire de convergence de la série. La série diverge donc et, de ce
qui précède, lim
n→+∞
a n = 0.
On suppose maintenant que β > α et on montre que, dans ce cas, la série
considérée est convergente. Pour ce faire, on montre que
a
−α
n > α(n − 1) pour n 1.
(∗)
Cette inégalité est évidente pour n = 1. On suppose qu’elle est vérifiée pour
un n donné. Par définition de la suite, on obtient alors
a
−α
n+1 = a
−α
n e
αa α
n > a
−α
n (1 + αa
α
n ) = a
−α
n + α > αn.
L’inégalité (∗) est donc vérifiée pour tout n > 0. Cette inégalité est équivalente
(pour n = 1) à
a
β
n < (α(n − 1))
−
β
α .
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