Chapitre III. Séries de nombres réels
III.2.45. Il suffit de prendre c n =
1
Sn , où S n est la n-ième somme partielle
de
+∞
n=1
a n , et d’appliquer III.2.10.
III.2.46. On peut poser c n =
1
√
r n−1
, où r n =
+∞
k=n+1
a k , et utiliser III.2.13 (b).
III.2.47. La suite {r n } est décroissante. Donc, d’après III.2.35,
lim
n→+∞
nr n = 0 et
lim
n→+∞
na n = lim
n→+∞
n(r n−1 − r n ) = lim
n→+∞
((n − 1)r n−1 − nr n + r n−1 ) = 0.
III.2.48.
(a) Puisque lim
n→+∞
a n = +∞, a n > 2 pour n suffisamment grand. La convergence de la série se déduit de l’inégalité
1
a n
n
<
1
2 n qui est vérifiée pour n
suffisamment grand.
(b) Comme en (a), on peut choisir n suffisamment grand pour que
1
a ln n
n
<
1
3 ln n . Donc, d’après III.2.17 (c), la série converge.
(c) La série peut converger ou diverger, son comportement dépendant de la
suite {a n }. Si a n = ln n (n 2), la série
+∞
n=1
1
a ln ln n
n
est alors divergente
(voir III.2.2 (e)). Si on prend maintenant a n = n, on a alors, pour
n > e e ,
1
a ln ln n
n
=
1
e ln ln n·ln n <
1
n α , où α > 1.
Dans ce cas, la série est convergente.
III.2.49. La série diverge car la condition nécessaire de convergence
lim a n = 0 n’est pas vérifie (voir II.5.25).
III.2.50. On suppose d’abord que p = 0. Alors, d’après II.5.22,
lim
n→+∞
√
na n =
√
3 et la série diverge donc. On suppose maintenant que p > 0.
On a alors lim
n→+∞
a n = 0. Donc, lim
n→+∞
a n+1
an = lim
n→+∞
1
n p ·
sin an
an = 0 et la série
converge d’après le test du quotient de d’Alembert.
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